La danza de los primos

La ley de reciprocidad cuadrática es sin duda uno de los teoremas más bellos y profundos de la aritmética.

Para poder enunciarlo, necesitamos una definición: supongamos que $p$ es un números primo y que $a$ es un entero no divisible por $p$. Decimos que a es un resto cuadático módulo p si la congruencia

tiene alguna solución (es decir: existe algún entero $x$ tal que $x^2-a$ es divisible por $p$). Básicamente esto dice que (la clase de) $a$ admite una raíz cuadrada en el anillo de los enteros módulo $p$. En caso contrario, diremos que $a$ es un no resto cuadrático .

Para enunciar la ley de reciprocidad cuadrática, en la forma debida a Legendre, introducimos el símbolo de Legendre. Supongamos que $p$ y $q$ son dos primos impares. Si introducimos el

que vale 1 si p es un resto cuadrático de q, y -1 si es un no resto cuadrático, entonces la ley de reciprocidad cuadrática establece que

(Si piensan en esta bella fórmula, entenderán el porqué del título del post)

Este teorema fue conjeturado por Euler y Legendre, y demostrado por primera vez por Gauss, quien publicó seis demostraciones diferentes, y en cuyos papers póstumos se encontraron más.

En la página de Franz Lemmermeyer (autor del libro Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein)  se listan 224 demostraciones diferentes de este teorema, seis de las cuales se deben a Gauss (quien fue el primero en dar una demostración completa).

Recientemente, al preparar un curso optativo sobre teoría analítica de números, encontré algunas pruebas sencillas de este teorema, realmente notables. Una de ellas, aparece en el artículo A shortened classical proof of the quadratic reciprocity law de Wouter Castryck. Tiene el mérito de ser breve pero conceptual. Se basa en contar el número de soluciones módulo $p$ de una ecuación cuadrática en muchas variables de dos modos diferentes.