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La función theta de Jacobi

Publicado: 2014-11-28
Actualizado: 2023-11-06

Y ya que estamos hablando sobre lugares donde se combinan la teoría de números y las ecuaciones diferenciales, hablemos hoy sobre la función theta de Jacobi. Esta notable función se  por medio de la fórmula

θ(z;τ)=∑n=−∞∞eπin2τ+2πinz  .\theta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau + 2 \pi i n z} \;.

En esta fómula z y τ\tau son números complejos, pero τ\tau vive en el semiplano superior, es decir su parte imaginaria es positiva. Satisface una notable fórmula, descubierta por Jacobi, conocida como la identidad modular

θ(z;−1/τ)=−iτ  eπiτz2θ(τz,τ)\theta(z; -1/\tau) = \sqrt{-i \tau} \; e^{\pi i \tau z^2} \theta(\tau z, \tau)

En esta fómula z y τ\tau son números complejos, pero τ\tau vive en el semiplano superior, es decir su parte imaginaria es positiva. Satisface una notable fórmula, descubierta por Jacobi, conocida como la identidad modular

θ(z;−1/τ)=−iτ  eπiτz2θ(τz,τ)\theta(z; -1/\tau) = \sqrt{-i \tau} \; e^{\pi i \tau z^2} \theta(\tau z, \tau)

Esta identidad recibe este nombre, porque si la consideramos junto con relaciones

θ(z+1,τ)=θ(z,τ)\theta(z+1,\tau)= \theta(z,\tau)
θ(z+τ,τ)=e−2πiz−πiτθ(z,τ)\theta(z+\tau,\tau)= e^{-2\pi iz-\pi i \tau} \theta(z,\tau)

que son de fácil comprobación, tenemos una descripción completa de como cambia la función theta por la acción del grupo modular (dado que conocemos como cambia por la acción de cada uno de sus generadores).

La función theta es muy importante en teoría de números (así como lo son en general otras funciones de variable compleja relacionadas con el grupo unimodular, como las formas modulares). Por ejemplo la función theta y su equación funcional intervienen en una delas pruebas dadas por Riemann  de la ecuación funcional para la función zeta

ζ(1−s)=Γ(s)(2π)s2cos⁡(πs2)ζ(s)\zeta(1-s) = \frac{ \Gamma(s)}{(2\pi)^s} 2 \cos \left( \frac{\pi s}{2} \right)\zeta(s)

en su célebre artículo, del que ya hemos hablado en los post anteriores.

Pero también la función theta (haciendo el cambio de variable τ=it\tau=it donde t>0t>0 es el tiempo) proporciona el núcleo del calor (o solución fundantal de la ecuación del calor) en un intervalo con condiciones periódicas (o sea en un “toro” R/Z\mathbb{R}/\mathbb{Z}).

La prueba usual de la identidad de Jacobi se basa en usar la fórmula de sumasión de Poisson aplicada a una función gaussiana. Cuando dí el curso de teoría analítica de números, me interesó saber si había alguna prueba de esta identidad que no utilizara esta técnica, sino análisis complejo (porque no asumí que mis estudiantes supieran nada de análisis de Fourier). ¡Y la encontré! En el bonito artículo . A simple proof of the modular identity for theta functions.. (Proceedings of the  American. Mathematical Society 131 (2003), pag. 3305-3307), W. Couwenberg da una bonita prueba de la identidad modular, usando ideas de análisis complejo relacionadas con las funciones elípticas y utilizando el hecho de que la función theta satisface la ecuación del calor.

Así pues, la función theta de Jacobi y la identidad modular nos dan un notable ejemplo más de la unidad de la matemática (¡Fíjense todas las ramas de la matemática por las que hemos pasado en este post!).