El teorema de incompletitud de Gödel: ¿Puede la matemática estudiarse a sí misma?

Entre muchos teoremas matemáticos, el teorema de incompletitud de Gödel ocupa un lugar singular: es un teorema sobre la matemática misma.

La Crisis de los Fundamentos y el Programa de Hilbert

Para comprender este teorema, debemos situarnos primero en su contexto. A comienzos del siglo XX, la matemática se vio sacudida por la llamada crisis de los fundamentos como consecuencia de la aparición de las “paradojas” de la teoría de conjuntos, por ejemplo la  paradoja de Russell descripta por Bertrand Russell en 1901, que mostraron que la teoría de conjuntos “ingenua” formulada originalmente por Georg Cantor es contradictoria.

Debemos enfatizar que una contradicción es como un cáncer para una teoría matemática: a partir de ella, se puede demostrar (utilizando la lógica clásica) cualquier teorema que queramos. Por lo que una teoría matemática contradictoria, pierde automáticamente la capacidad de distinguir enunciados que se pueden demostrar y los que no, tornándola por completo inútil.

Ante esta situación, el matemático alemán David Hilbert propuso hacia 1920 un programa para resolver el problema: esencialmente Hilbert propuso que toda teoría  matemática podía escribirse en un lenguaje formalizado por medio una cantidad finita de símbolos, y que los teoremas podían ser demostrados a partir de un conjunto finito de axiomas por medio de reglas de inferencia (típicamente,  el modus ponens). A este conjunto de axiomas y reglas de inferencia lo llamamos sistema formal.

De este modo, el razonamiento matemático quedaba reducido a un juego de símbolos con los que puede operarse mecánicamente haciendo abstracción de su significado (¡una computadora puede entonces verificar la exactitud de los razonamientos matemáticos!, vean por ejemplo la página del proyecto Methamath para ver como funciona esto en la realidad ). Entonces  Hilbert propuso que debería ser posible demostrar la no contradicción de la matemática (en particular de la aritmética) mediante razonamientos sobre esos símbolos por medio de procedimientos “finitarios” (esencialmente basados en la inducción matemática). También propuso que debería probarse la completitud de los axiomas: esto es demostrar  que toda proposición que pueda escribirse en el lenguaje formal del sistema pueda  ser demostrada o refutada (esto es: demostrarse su negación). Con ello, nacía una nueva rama de la matemática: la metamatemática. Es decir: la investigación de los sistemas formales matemáticos por métodos matemáticos.

En 1929, un joven matemático austriaco con entonces 23 años, Kurt Gödel, conquistó en su tesis un primer gran éxito para el programa de Hilbert al demostrar la completitud de los axiomas para el cálculo de predicados de primer orden  (¡el Teorema de Completitud de Gödel, mucho menos popular que su teorema de incompletitud!). Pero quedaba pendiente el problema central de  demostrar la no contradicción y la completitud de la aritmética, que el mismo Gödel resolvería en forma negativa tan solo dos años más tarde…

El teorema de Incompletitud de Gödel

Este famoso teorema dice esencialmente lo siguiente: todo sistema formal (basado en la lógica clásica de predicados) que tenga suficiente fuerza expresiva como para formalizar la aritmética (digamos que contenga a los axiomas de Peano ) y que sea consistente (esto es: que no permita demostrar simultáneamente una proposición y su negación), es necesariamente incompleto. Esto es: existen proposiciones que pueden formularse dentro del lenguaje formalizado del sistema, pero que no pueden ser demostradas ni refutadas por el sistema formal.

Como dijimos antes, el requisito de consistencia o no contradicción es esencial, porque un sistema inconsistente puede demostrar (y refutar) todo.

La demostración de Gödel se basa en un truco ingenioso conocido como la numeración de Gödel. Consiste en un procedimiento mediante el cuál se asigna a cada fórmula que pueda escribirse en el sistema formalizado un número natural (Esto no es hoy en día sorprendente: las computadoras suelen almacenar los símbolos como números binarios). Gracias a la numeración de Gödel, las propiedades meta-matemáticas pueden ser formuladas como teoremas dentro del sistema. Por ejemplo es posible escribir una fórmula que diga “la fórmula cuyo número de Gödel es 129437 es demostrable”.

Entonces, inspirado en la paradoja del mentiroso, Gödel construye (mediante un procedimiento muy ingenioso pero efectivo) una fórmula autoreferencial que esencialmente dice “yo no soy demostrable”. Resulta claro que una tal fórmula no puede ser demostrable ni refutable dentro del sistema formal si el mismo es consistente. Notemos que la fórmula de Gödel sin embargo, es verdadera cuando la miramos “desde afuera del sistema”.

Gödel dedujo también como corolario, que un sistema formal como el descripto es incapaz de demostrar su propia falta de contradicción.

Quizás debería aclarar que cuando digo que se pide que el sistema contenga a los axiomas de Peano, estoy pensando en una versión de estos en las que el principio de inducción se restringe a aquellas propiedades que son formulables en el lenguaje formalizado. Esto importante: si hay finitos símbolos, ¡sólo una cantidad numerable de propiedades de los números naturales son formulables en el sistema formal!, mientras que el conjunto de partes de los números naturales  es no numerable (y cada parte de los naturales corresponde a una propiedad). Sucede que entonces la versión formalizada del principio de inducción es más débil que la versión ingenua donde se puede cuantificar sobre todas las propiedades de los números naturales, ya que esta última no se puede formular en la lógica de primer orden, donde se puede cuantificar sobre elementos, pero no sobre subconjuntos o propiedades arbitrarias.

También quizás es interesante mencionar que el enunciado y la prueba del teorema de Gödel son puramente sintácticos. Esto es: pueden formularse con abstracción del significado de los símbolos, no interviene el aspecto semántico.  No hace falta hablar de proposiciones verdaderas o falsas, y de hecho Alfred Tarski en 1936, demostró en un teorema relacionado que “ser verdadero” no puede definirse dentro de un sistema formalizado, a diferencia de lo que ocurre con la demostrabilidad.

Si les interesa profundizar en el tema, seguramente la mejor recomendación es el libro Gödel para Todos de Guillermo Martinez y Gustavo Piñeiro. No puedo dejar de contarles que Guillermo fue mi profesor de lógica, en mi primer año en la Facultad; aunque posteriormente se dedicó de lleno a la literatura. Gustavo también fue mi docente en Análisis Funcional. Si son matemáticos, y les gusta ir a las fuentes  hay una traducción al inglés y a la notación moderna del paper de Gödel (¡bastante legible, pero por desgracia incompleta!)

Los abusos del teorema de incompletitud de Gödel

Me gustaría sin embargo llamar la atención de ustedes sobre los abusos que suelen hacerse del teorema de incompletitud de  Gödel por personas que no lo han estudiado o no lo han comprendido, particularmente por algunos pensadores post-modernos Muchos de esos abusos se relacionan con tratar de extrapolar un teorema sobre sistemas formales matemáticos a otros contextos donde no es relevante. Por ejemplo: el teorema de Gödel no dice absolutamente nada sobre nuestra psiquis.

Al respecto, no puedo dejar de recomendarles el libro Imposturas intelectuales de  Alan Sokal y Jean Bricmont ,donde por ejemplo citan algunos párrafos  sin el menor sentido de Julia Kristeva en un texto sobre la lingüística, referidos a este teorema y cuestiones relacionadas.