¿Y alguna perlita de Ecuaciones Diferenciales?
Viendo los post que escribí hasta ahora, los mismos se centran generalmente en la teoría de números. Es una rama de la matemática que como verán me gusta mucho pero sobre la que no he publicado aún ningún trabajo de investigación. Y son sobre teoremas bastante antiguos. Aunque seguramente volveré con artículos sobre la teoría de números, hoy tengo ganas de contarles sobre algo más cercano a mis temas de investigación (que son principalmente el análisis armónico y las ecuaciones diferenciales), y más actual.
Concretamente, si no lo leyeron ya, quiero recomendarles el paper de los matemáticos argentinos (residentes en EEUU) Luis Caffarelli y Luis Silvestre titulado An extension problem related to the fractional Laplacian Es un paper relatviamente sencillo desde lo técnico (Está al alcance de cualquiera que haya pasado por un curso básico de ecuaciones diferenciales) pero en él sus autores introdujeron una idea que ha resultado muy potente. Estudiar un operador no local como el laplaciano fraccionario por medio de un “problema de extensión” asociado a una ecuación en derivadas parciales local. Ello les permitió usar los resultados conocidos para ecuaciones locales para probar la desigualdad de Harnack para el laplaciano fraccionario.
El Laplaciano fraccionario es un operador dado por las potencias fraccionarias del Laplaciano. Ha sido muy estudiado por los probabilistas ya que es el generador infinitesimal de los procesos de Levy (que tienen entre otras cosas, aplicaciones en matemática financiera). También aparece en trabajos clásicos del análisis armónico como por ejemplo este paper de Elias Stein sobre la caracterización de los espacios potenciales (aunque Stein no le da ese nombre).
El artículo de Caffarelli y Silvestre ha sido tremendamente influyente, y ha motivado muchas investigaciones recientes sobre ecuaciones con operadores no locales. Según Google Scholar, al momento de escribir estas líneas, ya registra 459 citas Además el método que desarrollaron es muy versátil y puede extenderse a las potencias fraccionarias de otros operadores diferenciales, ya que como mostraron Pablo Stinga y José Luis Torrea en este artículo, la propiedad crucial que se requiere para que el método de Caffarelli-Silvestre funcione es que el operador genere un semigrupo.